Question

8．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠ABC=∠DCB，AB=DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）连接AD，判断AD和BC的位置关系，并证明之．

Answer 1

分析 （1）利用“SAS”可证明△ABC≌△DCB，则∠ACB=∠DBC，从而得到∠ABE=∠DCE，然后根据“AAS”可判断△ABE≌△DCE；
（2）先利用△ABE≌△DCE得到AE=DE，根据等腰三角形的判定与三角形内角和得到∠EAD=∠EDA=$\frac{1}{2}$（180°-∠AED），∠EBC=$\frac{1}{2}$（180°-∠BEC），则利用∠AED=∠BEC得到∠EDA=∠EBC，然后根据平行线的判定方法可判断AD∥BC．

解答 （1）证明：在△ABC和△DCB中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠ABC=∠DCB}\\{BC=CB}\end{array}\right.$
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∴∠ABE=∠DCE，
在△ABE和△DCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠DEC}\\{∠ABE=∠DCE}\\{AB=DC}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△DCE；
（2）解：AD∥BC．理由如下：
由（1）知，△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA=$\frac{1}{2}$（180°-∠AED），
∵∠ABE=∠DCE，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$（180°-∠BEC），
而∠AED=∠BEC，
∴∠EDA=∠EBC，
∴AD∥BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．