Question

13．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC交于点F，与△ABC的外接圆⊙O交于点D，⊙O的切线PD交AB的延长线于点P．
（1）求证：DB=DE；
（2）求证：BD²=DF•DA；
（3）若DF=2cm，DA=8cm，PA=12cm，求线段PD的长．

Answer 1

分析 （1）连接BE，由点E是△ABC的内心，得到∠3=∠4，∠1=∠2，根据圆周角定理得到∠4=∠5，等量代换得到∠3=∠5，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（3）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥PD，推出BC∥PD，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{PB}{PA}=\frac{DF}{AD}$，求得PB=3，根据切割线定理即可得到结论．

解答 解：（1）连接BE，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∵∠BED=∠1+∠3，∠DBE=∠2+∠5，
∴∠BED=∠DBE，
∴BD=DE；
（2）∵∠3=∠5，∠BDF=∠ADB，
∴△BDF∽△ADB，
∴$\frac{BD}{DF}=\frac{AD}{BD}$，
∴BD²=DF•DA；
（3）连接OD，
∵PD是⊙O 的切线，
∴OD⊥PD，
∵∠3=∠4，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴OD⊥BC，
∴BC∥PD，
∴$\frac{PB}{PA}=\frac{DF}{AD}$，
∵DF=2cm，DA=8cm，PA=12cm，
∴PB=3，
∵PD是⊙O 的切线，
∴PD²=PB•PA=3×12=36，
∴PD=6．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，三角形的内心，正确的作出辅助线是解题的关键．