Question

如图，等边△ABC和等边△BDE有公共顶点B，∠CBE=α（60°＜α≤180°），连结CE，M、N、P、Q分别是AB、BD、CE、CB的中点，连结MN、N P、PM、PQ、MQ．
（1）∠MQP的度数用α的代数式表示为

 

；
（2）求证：△MNB≌△MPQ；
（3）猜想△MNP的形状，并证明你的猜想．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由三角形中位线的性质及等边三角形的性质就可以得出∠PQB和∠MQB的值，进而得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出及三角形中位线的性质就可以就可以得出PQ=NB，MQ=MB，∠PQM=∠NBM就可以得出结论；
（3）由△MNB≌△MPQ就可以得出MP=MN，∠QMP=∠BMN，就可以得出∠QMB=∠PMN=60°而得出结论．

解答：解：（1）∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴∠ABC=∠DBE=∠ACB=∠A=60°，AB=BC=AC，BD=DE=BE．
∵M、N、P、Q分别是AB、BD、CE、CB的中点，
∴PQ是△BCE的中位线，MQ是△ABC的中位线，BM=

1

2

AB，BN=

1

2

BD，
∴PQ∥BE，PQ=

1

2

BE，MQ∥AC，MQ=

1

2

AC，
∴MQ=MB，PQ=NB，∠MQB=∠ACB=60°，∠QMB=∠A=60°，∠PQB+∠CBE=180°．
∵∠CBE=α，
∴∠PQB=180°-α．
∴∠PQM=180°-α+60°=240°-α．
故答案为：240°-α；
（2）∵∠ABC+∠CBE+∠DBE+∠MBN=360°，
∴∠MBN=240°-α，
∴∠MBN=∠MQP．
在△MNB和△MPQ中，

NB=PQ ∠MBN=∠MQP MB=MQ

，
∴△MNB≌△MPQ（SAS）；
（3）△MNP是等边三角形．
理由：∵△MNB≌△MPQ，
∴MN=MP，∠NMB=∠QMP．
∴∠PMB+∠PNQ=∠PMB+∠BMN，
∴∠QMB=∠PMN=60°．
∴△MNP为等边三角形．

点评：本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，三角形的中位线的判定与性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质求解是关键．