Question

5．已知点A（m，m+1）和抛物线y=x²-2mx+m²+m-1上的动点P，其中m是常数，则线段AP的最小值是$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 根据点P在抛物线y=x²-2mx+m²+m-1上，设p点坐标为P（a，a²-2ma+m²+m-1），表示出AP²，根据二次函数的最值问题得出AP的最小值即可．

解答 解：设P点坐标为P（a，a²-2ma+m²+m-1），
AP²=（m-a）²+[a²-2ma+m²+m-1-（m+1）]²
=（m-a）²+[（m-a）²-2]²
令（m-a）²=t（t≥0）
则有AP²=t+（t-2）²=t²-3t+4=（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
所以，当t=$\frac{3}{2}$ 时，AP²有最小值 $\frac{7}{4}$，
所以AP=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
故答案为$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，设出点P坐标得到关于t的二次函数是解题的关键．