Question

【题目】如图，点在上，点是外一点．切于点．连接交于点，作于点，交于点，连接．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）18﹣6π

【解析】

（1）连接OB，由垂径定理得OP垂直平分AB，进而证明△APO≌△BPO，得∠PAO＝∠PBO，结合PA切⊙O于点A， 即可得到结论；

（2）先证△APB是等边三角形，设OB＝x，则OP＝2x，由勾股定理得OB＝6，结合三角形的面积公式和扇形的面积公式，即可求解．

（1）连接OB，

∵OP⊥AB，OP经过圆心O，

∴AC＝BC，

∴OP垂直平分AB，

∴AP＝BP，

∵OA＝OB，OP＝OP，

∴△APO≌△BPO（SSS），

∴∠PAO＝∠PBO，

∵PA切⊙O于点A，

∴AP⊥OA，

∴∠PAO＝90°，

∴∠PBO＝∠PAO＝90°，

∴OB⊥BP，

又∵点B在⊙O上，

∴PB是⊙O的切线；

（2）∵PA切⊙O于点A， PB切⊙O于点B，

∴PA＝PB，

∵∠APB＝60°，

∴△APB是等边三角形，

∴PB＝AB＝6，

在Rt△OPB中，

∵∠OPB＝∠OPA＝∠APB＝30°，

∴OP＝2OB，∠POB＝60°，

设OB＝x，则OP＝2x，

由勾股定理得： x2+（6）2＝（2x）2

∵x>0

∴x＝6 ， 即OB＝6，

∴S△OPB＝×BP×OB＝×6×6＝18，S扇DOB＝＝6π，

∴S阴影＝S△OPB﹣S扇DOB＝18﹣6π．