Question

20．如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD∥AB，连接AC、AD、OD，其中AC=CD，过点B的切线交CD的延长线于E．
（1）求证：DA平分∠CDO；
（2）若AB=12，求图中阴影部分的周长之和（参考数据：π=3.1，$\sqrt{2}$=1.4，$\sqrt{3}$=1.7）．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠CDA=∠DAO，∠DAO=∠ADO即可．
（2）首先证明$\widehat{AC}$=$\widehat{DC}$=$\widehat{DB}$，再证明∠DOB=60°得△BOD是等边三角形，由此即可解决问题．

解答 证明：（1）∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
又∵OA=OD，
∴∠ADO=∠BAD，
∴∠ADO=∠CDA，
∴DA平分∠CDO．
（2）如图，连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
又∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
∴∠CDA=∠BAD=∠CAD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{DC}$=$\widehat{DB}$，
又∵∠AOB=180°，
∴∠DOB=60°，
∵OD=OB，
∴△DOB是等边三角形，
∴BD=OB=$\frac{1}{2}$AB=6，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，
∴AC=BD=6，
∵BE切⊙O于B，
∴BE⊥AB，
∴∠DBE=∠ABE-∠ABD=30°，
∵CD∥AB，
∴BE⊥CE，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD=3，BE=BD×cos∠DBE=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴$\widehat{BD}$的长=$\frac{60π×6}{180}$=2π，
∴图中阴影部分周长之和为2$π+6+2π+3+3\sqrt{3}$=4π+9+3$\sqrt{3}$=4×3.1+9+3×1.7=26.5．

点评 本题考查切线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质、弧长公式等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．