Question

7．如图所示，在△ABC中，∠A=90°，D为BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，试探究线段BE，EF，FC之间的数量关系．

Answer 1

分析 BE²+CF²=EF²，可延长FD至P，使DP=DF，连接EP，连接BP，证明△CFD≌BPD，进而在Rt△PBE中，由勾股定理即可得出结论．

解答 解：BE²+CF²=EF²；
理由：延长FD至P，使DP=DF，连接EP，BP，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△CDF和△BPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=BD}\\{∠CDF=∠BDP}\\{DF=DP}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△BPD（SAS），
∴CF=BP，∠C=∠PBD，
∵∠A=90°，
∴∠ABP=∠ABC+∠DBP=∠ABC+∠C=180°-90°=90°，
∵DE⊥DF，DF=DP，
∴EF=FP（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），
在Rt△BEP中，由勾股定理得：BE²+BP²=EP²=EF²，
即：BE²+CF²=EF²．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质，勾股定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．