Question

17．如图，已知△ABC中，∠B=30°，现将△ABC绕点A顺时针旋转角度α至△ADE，直线BC与直线DE交于点F，连结AF．
（1）若α=60°（如图1），则∠AFB=120°；
（2）若α=90°（如图2），则∠AFB=135°；
（3）若0°＜α＜120°（如图3），猜想∠AFB的度数（用α表示），并证明你的结论；
（4）若120°＜α＜180°（如图4），（2）中的猜想结论还成立吗？若不成立，试探究∠AFB的度数，并写出你的结论（不必证明）．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥DE于M，AN⊥BC于N，如图1，由旋转的性质得∠DFB=60°，△ABC≌△ADE，则利用全等三角形的性质得AM=AN，于是根据角平分线定理的逆定理可判断AF平分∠DFC，即∠AFC=∠DFA-=60°，于是到∠AFB=2∠DFA=120°；
（2）当α=90°（如图2），根据旋转的性质得∠DFB=90°，同理可得AF平分∠DFC，即∠DFB=∠AFC=45°吗，则∠AFB=∠DFB+∠DFA=135°；
（3）若0°＜α＜120°（如图3），由旋转的性质得∠DFB=α，同理可得AF平分∠DFC，即∠DFA=∠AFC，则∠DFA=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°°-$\frac{1}{2}$α，所以∠AFB=∠DFB+∠DFA=90°+$\frac{1}{2}$α；
（4），如图4，根据旋转性质得∠PFC=α，利用邻补角定义得∠DFC=180°-α，同理可得AF平分∠DFC，即∠DFB=∠DFA，于是得到∠DFA=90°-$\frac{1}{2}$α

解答 解：（1）作AM⊥DE于M，AN⊥BC于N，如图1，
∵△ABC绕点A顺时针旋转角度60°至△ADE，
∴∠DFB=60°，△ABC≌△ADE，
∴AM=AN，
∴AF平分∠DFC，即∠AFC=∠DFA，
而∠DFC=180°-60°=120°，
∴∠AFB=2∠DFA=120°；
（2）若α=90°（如图2），与（1）一样可得∠DFB=90°，AF平分∠DFC，即∠DFA=∠AFC，
∴∠DFA=45°
∴∠AFB=∠DFB+∠DFA=90°+45°=135°；
故答案为120°，135°；
（3）若0°＜α＜120°（如图3），∠AFB=90°+$\frac{1}{2}$α．理由如下：
∵△ABC绕点A顺时针旋转角度α至△ADE，
∴∠DFB=α，
与（1）一样可证明AF平分∠DFC，即∠DFA=∠AFC，
∴∠DFA=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°°-$\frac{1}{2}$α
∴∠AFB=∠DFB+∠DFA=α+90°-$\frac{1}{2}$α=90°+$\frac{1}{2}$α；
（4）、（3）中的猜想结论不成立．∠AFB=90°-$\frac{1}{2}$α．理由如下：
如图4，∵△ABC绕点A顺时针旋转角度α至△ADE，
∴∠PFC=α，
∴∠DFC=180°-α，
同理可得AF平分∠DFC，即∠DFA=∠AFC，
∴∠AFB=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了角平分线定理的逆定理．