Question

已知关于x的一元二次方程x²-（2k+4）x+k²+4k+3=0
（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）设Rt△ABC两直角边的长是此一元二次方程的两根，斜边BC的长为10，试求Rt△ABC的周长．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系,勾股定理

专题：计算题

分析：（1）先根据判别式的值得到△=4，由此根据判别式的意义可得到一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用求根公式法解方程得到x₁=k+1＞0，x₂=k+3＞0，即Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+3，斜边BC的长为10，然后根据勾股定理得到（k+1）²+（k+3）²=10²，解方程得到满足条件的k的值为5，再计算k+1=和k+3的值，然后计算三角形的周长．

解答：（1）证明：∵△=（2k+4）²-4（k²+4k+3）
=4＞0，
∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x=

2k+4±2

2

=k+2±1，
∴x₁=k+1＞0，x₂=k+3＞0，
∴Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+3，斜边BC的长为10，
∴（k+1）²+（k+3）²=10²，解得k₁=-9（舍去），k₂=5，
∴k+1=6，k+3=8，
∴Rt△ABC的周长=6+8+10=24．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了勾股定理．