Question

1．如图，在△ABC中，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，矩形EFCG是⊙O的内接四边形．

（1）如图1，求证：∠BEF=∠CFG；
（2）如图2，若AB=AC，AD⊥BC于点D，求证：BE=2DO；
（3）如图2，在（2）的条件下，若DF=1，DC=3，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据同角的余角相等可得：∠BEF=∠CFG；
（2）根据三角形的中位线定理可得结论；
（3）利用等角的三角函数列比例式得：tan∠BEF=tan∠CFG=$\frac{BF}{EF}=\frac{CG}{FC}$，求EF的长，最后利用平行线分线段成比例定理可得结论．

解答 证明：（1）∵AB与⊙O相切，
∴∠BEO=90°，
∴∠BEF+∠FEO=90°，
∵四边形EFCG是矩形，
∴EG∥CF，OE=OF，
∴∠FGE=∠CFG，∠FEO=∠EFO，
∵∠FEG=90°，
∴∠EFO+∠FGE=90°，
∴∠BEF=∠FGE，
∴∠BEF=∠CFG；

（2）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D是BC的中点，
∵O是EC的中点，
∴OD是△BEC的中位线，
∴BE=2DO；

（3）∵BD=DC=3，FD=1，
∴BF=2，
由（1）得：∠BEF=∠CFG，
∴tan∠BEF=tan∠CFG=$\frac{BF}{EF}=\frac{CG}{FC}$，
∵EF=CG，
∴$\frac{2}{EF}=\frac{EF}{4}$，
∴EF=2$\sqrt{2}$，
Rt△BEF中，由勾股定理得：BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵EF∥AD，
∴$\frac{BE}{AE}=\frac{BF}{DF}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{AE}=\frac{2}{1}$，
∴AE=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆的切线的性质、矩形的性质、三角形的中位线定理、三角函数、勾股定理，熟练掌握切线的性质和等角的三角函数相等是关键；在求线段相等时，常借助相似或三角函数列比例式得出结论．