Question

15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，?OABC的边OA落在x轴正半轴上，顶点C（3，4），点P为对角线AC上一点，过点P分别作DE∥OC，FG∥OA分别交?OABC各边如图所示，反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象过点D．
（1）若四边形DCOE的面积为4，求k的值；
（2）若四边形PDCF是菱形，求点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）过C作CM⊥x轴于点M，由平行四边形DCOE的面积可求得OE，过D作DN⊥x轴于点N，由C点坐标则可求得ON的长，从而可求得D点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值；
（2）延长BC交y轴于点Q，由四边形PDCF为菱形可证得四边形OABC为菱形，由C点坐标可求得OC的长，从而可求得OQ和BQ的长，可求得B点坐标．

解答 解：
（1）如图1，过C作CM⊥x轴于点M，过D作DN⊥x轴于点N，则四边形CMND为矩形，

∵四边形OABC为平行四边形，
∴CD∥OE，且DE∥OC，
∴四边形DCOE为平行四边形，
∵C（3，4），
∴OM=3，CM=4，
∴S_{四边形DCOE}=OE•CM=4，即4OE=4，解得OE=1，
∴CD=MN=1，
∴ON=OM+MN=3+1=4，DN=CM=4，
∴D（4，4），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象过点D，
∴k=4×4=16；

（2）如图2，过延长BC交y轴于点Q，

∵BC∥OA，
∴BQ⊥y轴，
∵C（3，4），
∴OQ=4，CQ=3，
在Rt△OCQ中，由勾股定理可求得OC=5，
当四边形PDCF为菱形时，则∠OCA=∠BCA=∠BAC，
∴BA=BC，且四边形OABC为平行四边形，
∴四边形OABC为菱形，
∴BC=OC=5，
∴BQ=CQ+BC=3+5=8，
∴B（8，4）．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、勾股定理、菱形的性质等知识．在（1）中求得D点坐标是解题的关键，在（2）由条件证得四边形OABC为菱形是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．