题目内容
【题目】综合与实践
正方形内“奇妙点”及性质探究
定义：如图1，在正方形
中，以
为直径作半圆
，以
为圆心，
为半径作
，与半圆交于点
.我们称点为正方形的一个“奇妙点”．过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．
性质探究：如图2，连接
并延长交
于点
，则
为半圆的切线．
证明：连接
．
由作图可知，
，
又
．
，∴是半圆的切线．
问题解决：
（1）如图3，在图2的基础上，连接
.请判断
和
的数量关系，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，请直接写出线段
之间的数量关系；
（3）如图4，已知点为正方形的一个“奇妙点”，点为的中点，连接并延长交于点，连接
并延长交于点
，请写出
和的数量关系，并说明理由；
（4）如图5，已知点
为正方形的四个“奇妙点”．连接
，恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”．请根据图形，探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系．
【答案】（1）
，理由见解析；（2）
；（3）
，理由见解析；（4）答案不唯一，如：
的面积等于正方形
的面积；正方形的面积等于正方形
面积的
等．
【解析】
（1）先提出猜想，在图2以及上面结论的基础上，根据全等三角形的性质、四边形的内角和、邻补角的性质可得出
，再由边边边定理可证得
，然后利用全等三角形的性质、等式性质可得证结论；
（2）由（1）可知
、，根据全等三角形的性质、线段的和差即可得到结论；
（3）先提出猜想，添加辅助线构造出直角三角形，由（1）可知，则其正切值相等，再根据正方形的性质即可得证结论；
（4）根据前面的结论结合赵爽弦图可证得
，即可提出猜想．
解：（1）结论：
理由如下：
∵
∴
，
，
∴
∵
∴
在
和
中
∵
，
∴
∴
∵
∴；
（2）∵由（1）可知，、
∴
，
∵
∴
∴线段
、
、
之间的数量关系是；
（3）结论：
理由：连接
、
，如图：
由（1）可知，
∵
∴
∵点
为
的中点
∴
∴
∵四边形是正方形
∴
∴；
（4）延长
交于点，连接、，如图：
∵由前面的结论可知
∴
∵此图为赵爽弦图即
∴
同理可得
、
、
∵四边形是正方形
∴
∴
∴在
和
中，
∴
∴
∴
∴
∴答案不唯一，例如，的面积等于正方形的面积；正方形的面积等于正方形面积的等等．
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【题目】某村启动“脱贫攻坚”项目，根据当地的地理条件，要在一座高为1000m的上种植一种经济作物．农业技术人员在种植前进行了主要相关因素的调查统计，结果如下：
①这座山的山脚下温度约为22°C，山高h（单位：m）每增加100m，温度T（单位：°C）下降约0.5°C；
②该作物的种植成活率p受温度T影响，且在19°C时达到最大．大致如表：
温度T°C | 21 | 20.5 | 20 | 19.5 | 19 | 18.5 | 18 | 17.5 |
种植成活率p | 90% | 92% | 94% | 96% | 98% | 96% | 94% | 92% |
③该作物在这座山上的种植量w受山高h影响，大致如图1：
（1）求T关于h的函数解析式，并求T的最小值；
（2）若要求该作物种植成活率p不低于92%，根据上述统计结果，山高h为多少米时该作物的成活量最大？请说明理由．
