Question

【题目】如图，点是线段上一点，，以点为圆心，的长为半径作⊙，过点作的垂线交⊙于，两点，点在线段的延长线上，连接交⊙于点，以，为边作．

（1）求证：是⊙的切线；

（2）若，求四边形与⊙重叠部分的面积；

（3）若，，连接，求和的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2） ；（3），

【解析】

（1）根据平行四边形的性质可知，证明，又因为为半径，即可证明结论；

（2）利用锐角三角函数先求出，再求出扇形的面积，最后求出的面积，两部分面积相加即为重叠部分面积；

（3）设⊙半径，，在中，利用勾股定理求出半径，推出，再在和中利用勾股定理分别求出，的长，最后证，利用相似三角形对应边的比相等即可求出的长．

（1）证明：四边形是平行四边形，

，

，

，即，

又为半径，

是⊙的切线；

（2）如图，连接，

，，

，，

在中，，，

，

，

扇形，

，

，

四边形与⊙重叠部分的面积；

（3）设⊙半径，，

在中，，

，

，则，

在中，，，则，

在中，，，得，

在和中，

，，

，

即，

，

，．