Question

【题目】如图1所示，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点，直线经过点，与抛物线另一个交点为，点是抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点

（1）求抛物线的解析式

（2）当点在直线上方，且是以为腰的等腰三角形时，求的坐标

（3）如图2所示，若点为对称轴右侧抛物线上一点，连接，以为直角顶点，线段为较长直角边，构造两直角边比为的，是否存在点，使点恰好落在直线上？若存在，请直接写出相应点的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P 或；（3）存在，2或

【解析】

（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；

（2）先把C点代入直线CD中求出m的值，表示P(m，-m2+2m+3)、E(m，m+3)，当△CPE是以CE为腰的等腰三角形时，然后分分两种情况：①当CE=CP时，②当CE=PE时；

（3）先根据点P在抛物线上，G在直线y=x上设P(m，-m2+2m+3)，G(a，a)，

如图3，作辅助线，构建两个相似三角形，证明△PHG∽△BNP，则，由两直角边比为1：2列方程组解出横坐标m；如图4，同理列方程组解出m的值．

解：（1）把点的坐标代入抛物线中，

得：，

解得，

所以抛物线的解析式为；

（2）把代入，得，

所以直线的解析式为：，

设，

①当时，作，如图2，

，

，

．

，

，

当时，；

②当时， ，，

勾股定理得，

，

解得(舍去)，，

当时，

综上所述当三角形是以为腰的等腰三角形时，点P的坐标为或；

（3）点P的横坐标为2或．

设P(m，-m2+2m+3)，G(a，a)，

如图3，

过B作BN∥y轴，过P作PH∥x轴，交于N，过G作GH⊥PN，垂足为H，则∠PHG=∠BNP=90°，

∴∠NBP+∠BPN=90°，

∵∠BPG=90°，

∴∠BPN+∠NPG=90°，

∴∠NBP=∠NPG，

∴△PHG∽△BNP，

∴，

∵=2，

∴=2，

∴=2，

则，

解得：m1=-3（舍去），m2=2；

如图4，

过P作NH∥x轴，过G作GN⊥NH，过B作BH⊥NH，垂足分别为N、H，

同理得：△PNG∽△BHP，

∴，

∴，

∴，

解得：m1=（舍去），m2=，

综上所述，相应点P的横坐标为2或．