Question

4．已知，等边三角形ABC的边长为5，点P在线段AB上，点D在线段BC上，且△PDE是等边三角形．
（1）初步尝试：若点P与点A重合时（如图1），BD+BE=5．
（2）类比探究：将点P沿AB方向移动，使AP=1，其余条件不变（如图2），试计算BD+BE的值是多少？
（3）拓展迁移：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，点P在线段AB的延长线上，点D在线段CB的延长线上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=70°，设BP=a，请直接写出线段BD、BE之间的数量关系（用含a的式子表示）

Answer 1

分析 （1）先判断出∠BPE=∠CAD，进而判断出△PBE≌△ACD，即可得出BD+BE=BC=5；
（2）先构造出等边三角形，再判断出∠BPE=∠FPD，进而判断出△PBE≌△PFD，即可得出BD+BE=BF=4；
（3）类似于（2）的方法判断出△PBE≌△PFD得出BE=DF，再判断出BF=2BG，利用用锐角三角函数求出BG=a•cos55°，即可BD-BE=BF=2a•cos55°．

解答 解：（1）∵△ABC和△PDE是等边三角形，
∴PE=PD，AB=AC，∠DPE=∠CAB=60°，
∴∠BPE=∠CAD，
∴△PBE≌△ACD，
∴BE=CD，
∴BD+BE=BD+CD=BC=5，
故答案为5；

（2）如图2，过点P作PF∥AC交BC于F，
∴△FPB是等边三角形，
∴BF=PF=PB=AB-AP=4，∠BPF=60°，
∵△PDE是等边三角形，
∴PD=PE，∠DPE=60°，
∴∠BPE=∠FPD，
∴△PBE≌△PFD，
∴BE=DF，
∴BD+BE=BD+DF=BF=4；

（3）如图3，
过点P作PF∥AC交BC于F，
∴∠BPF=∠BAC=70°，∠PFB=∠C，
∵AB=AC，∠BAC=70°，
∴∠ABC=∠C=55°，
∴∠PFB=∠C=∠PBF=55°，
∴PF=PB=a，
∵∠BPF=∠DPE=70°，
∴∠DPF=∠EPB，
∵PD=PE，
∴△PBE≌△PFD，
∴BE=DF，
过点P作PG⊥BC于G，
∴BF=2BG，
在Rt△BPG中，∠PBD=55°，
∴BG=BP•cos∠PBD=a•cos55°，
∴BF=2BG=2a•cos55°，
∴BD-BE=BD-DF=BF=2a•cos55°．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，解（1）的关键是判断出△PBE≌△ACD，解（2）的关键是构造出等边三角形，解（3）的关键是构造直角三角形求出BG，是一道中等难度的题目．