Question

15．已知：△ABC内接于⊙O，OD⊥AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．
（1）如图1，当BC是⊙O的直径时，且AD∥BC，求证：AB=AD；
（2）如图2，求证：90°-∠ADE=$\frac{1}{2}$∠ABC；
（3）如图3，在（2）的条件下，作DM⊥BC于点M，若∠DAC=60°，OE=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，MC=1，求AB．

Answer 1

分析 （1）只要证明$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，即可解决问题．
（2）如图2中，连接BD．由OD⊥AC，推出$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，推出∠DBA=∠DBC，由∠DAC=∠DBC，所以∠ABC=2∠DBC=2∠DAE，所以∠DAE=$\frac{1}{2}$∠ABC，由此即可证明．
（3）如图3中，连接OA、BD，在BD上截取BN=BC，连接CN．首先证明△ADC是等边三角形，在RT△AOE中求出AE，Q求出△ADC的边长，再利用勾股定理求出BC、BD，最后证明BD=AB+BC即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接CD．

∵OD⊥AC，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴AD=CD，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴AB=CD，
∴AB=AD．

（2）证明：如图2中，连接BD．

∵OD⊥AC，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠DBA=∠DBC，
∵∠DAC=∠DBC，
∴∠ABC=2∠DBC=2∠DAE，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠AED=90°，
∴∠DAE=90°-∠ADE=$\frac{1}{2}$∠ABC，
即90°-∠ADE=$\frac{1}{2}$∠ABC．

（3）解：如图3中，连接OA、BD，在BD上截取BN=BC，连接CN．

∵ED⊥AC，DE经过圆心，
∴AE=EC，
∴DA=DC，
∵∠DAC=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AC=CD，∠DCA=60°，∠OAD=∠OAC=30°，
∵∠AEO=90°，OE=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
∴AE=$\sqrt{3}$OE=$\sqrt{7}$，
∴AC=CD=2$\sqrt{7}$，
∵DM⊥BC，
∴∠DMC=90°，
∴DM²=CD²-CM²=（2$\sqrt{7}$）²-1²=27，
∴DM=3$\sqrt{3}$．
∵∠DBC=∠DAC=60°，
∴BM=DM•tan30°=3$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=3，
∴BD=$\sqrt{D{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{27+9}$=6，BC=BM+CM=3+1=4，
∵∠CBN=60°，BN=BC，
∴△BCN是等边三角形，
∴∠BCN=∠ACD=60°，CB=CN，
∴∠ACB=∠NCD，∵AC=CD，CB=CN，
∴△BCA≌△NCD，
∴AB=DN，
∴BD=BN+DN=BC+AB，
∴6=4+AB，
∴AB=2．

点评 本题考查圆综合题、垂径定理、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．