Question

4．如图，在△ABC的外部作等腰三角形ACE和等腰三角形ABD，使AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠CAE=45°，连接BE，CD．
（1）求证：BE=CD；
（2）求∠BFD的度数．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠BAE=∠DAC，然后根据SAS即可证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的对应边相等证明BE=CD；
（2）根据△BAE≌△DAC，可以证得∠ABE=∠ADC，然后在△ABD和△BDF中利用三角形的内角和定理证得∠BFD=∠BAD，即可求解．

解答 （1）证明：∵∠DAB=∠CAE=45°
∴∠BAE=∠DAC．
∴在△BAE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAC，
∴BE=CD；
（2）解：∵△BAE≌△DAC，
∴∠ABE=∠ADC．
又∵∠FBD+∠FDB=∠ABE+∠ABD+∠FDB，∠ADB+∠ABD=∠ABD+∠FDB+∠ADC，
∴∠FBD+∠FDB=∠ADB+∠ABD，
又∵∠FBD+∠FDB+∠BFD=∠ADB+∠ABD+∠DAB=180°，
∴∠BFD=∠DAB=45°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形的内角和定理证明∠BFD=∠DAB是关键．