Question

12．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E，F分别是边AD，BC上的点，将正方形纸片沿EF折叠，使得点A落在CD边上的点A′处，此时点落在点B′处．已知折痕EF=13，则AE的长等于$\frac{169}{24}$．

Answer 1

分析 过点F作FG⊥AD，垂足为G，连接AA′，在△GEF中，由勾股定理可求得EG=5，轴对称的性质可知AA′⊥EF，由同角的余角相等可证明∠EAH=∠GFE，从而可证明△ADA′≌△FGE，故此可知GE=DA′=5，最后在△EDA′利用勾股定理列方程求解即可．

解答 解：过点F作FG⊥AD，垂足为G，连接AA′．

在Rt△EFG中，EG=$\sqrt{E{F}^{2}-F{G}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5．
∵轴对称的性质可知AA′⊥EF，
∴∠EAH+∠AEH=90°．
∵FG⊥AD，
∴∠GEF+∠EFG=90°．
∴∠DAA′=∠GFE．
在△GEF和△DA′A中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGF=∠D=90°}\\{FG=AD}\\{∠DAA′=∠GFE}\end{array}\right.$，
∴△GEF≌△DA′A．
∴DA′=EG=5．
设AE=x，由翻折的性质可知EA′=x，则DE=12-x．
在Rt△EDA′中，由勾股定理得：EA′²=DE²+A′D²，即x²=（12-x）²+5²．
解得：x=$\frac{169}{24}$．
故答案为：$\frac{169}{24}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、全等三角形的性质和判定，证得△GEF≌△DA′A从而求得A′D=5是解题的关键．