Question

20．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n-4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．

Answer 1

分析 将点B（2，n）、P（3n-4，1）代入反比例函数的解析式可求得m、n的值，从而求得反比例函数的解析式以及点B和点P的坐标，过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．接下来证明△BDP≌△BDP′，从而得到点P′的坐标，最后将点P′和点B的坐标代入一次函数的解析式即可求得一次函数的表达式．

解答 解：∵点B（2，n）、P（3n-4，1）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2n=m}\\{3n-4=m}\end{array}\right.$．
解得：m=8，n=4．
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{8}{x}$．
∵m=8，n=4，
∴点B（2，4），P（8，1）．
过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．

在△BDP和△BDP′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PBD=∠P′BD}\\{BD=BD}\\{∠BDP=∠BDP′}\end{array}\right.$
∴△BDP≌△BDP′．
∴DP′=DP=6．
∴点P′（-4，1）．
将点P′（-4，1），B（2，4）代入直线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{-4k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴一次函数的表达式为y=$\frac{1}{2}$x+3．

点评 本题主要考查的是一次函数和反比例函数的综合应用，根据题意列出方程组是解题的关键．