Question

5．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，3）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积是（　　）

• A． 10×（$\frac{4}{3}$）⁴⁰³⁰
• B． 10×（$\frac{4}{3}$）⁴⁰³¹
• C． 10×（$\frac{4}{3}$）⁴⁰³²
• D． 10×（$\frac{4}{3}$）⁴⁰³³

Answer 1

分析 先求出正方形ABCD的边长和面积，再求出第二个正方形A₁B₁C₁C的面积，得出规律，根据规律即可求出第2016个正方形的面积．

解答 解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，3），
∴OA=1，OD=3，
∵∠AOD=90°，
∴AB=AD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，∠ODA+∠OAD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，S_{正方形ABCD}=（$\sqrt{10}$）²=10，
∴∠ABA₁=90°，∠OAD+∠BAA₁=90°，
∴∠ODA=∠BAA₁，
∴△ABA₁∽△DOA，
∴$\frac{B{A}_{1}}{OA}$=$\frac{AB}{OD}$，即$\frac{B{A}_{1}}{1}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴BA₁=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴CA₁=$\sqrt{10}$+$\frac{\sqrt{10}}{3}$=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，
∴正方形A₁B₁C₁C的面积=（$\frac{4\sqrt{10}}{3}$）²=10×（$\frac{4}{3}$）²，…，第n个正方形的面积为10×（$\frac{4}{3}$）²ⁿ
∴第2016个正方形的面积为10×（$\frac{4}{3}$）⁴⁰³²；
故选C．

点评 本题考查了正方形的性质以及坐标与图形性质；通过求出正方形ABCD和正方形A₁B₁C₁C的面积得出规律是解决问题的关键．