Question

12．在如图直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a，b，c满足关系$\sqrt{a-2}+（b-3）^{2}$=0，（c-4）²≤0，点P、点A、点C在同一条直线上．
（1）求a、b、c的值；
（2）如果点P（m，n）在第二象限，四边形CBOP的面积为y，请你用含m，n的式子表示y；并求出m，n之间的关系；
（3）在满足（2）的条件下，若PE∥OB交AB于点E，PO∥AB，求点E，点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用二次根式以及平方的非负性得出a，b，c的值即可；
（2）利用四边形面积求法，将原图形分割，得出用含m，n的式子表示y的解析式；利用待定系数法求出直线AC的解析式，根据点P、点A、点C在同一条直线上求出m，n之间的关系；
（3）先判定四边形POBE是平行四边形，得出BO=PE=3．利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+2，根据直线平移的规律得出直线OP的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x．联立直线AC与直线OP的解析式，得出方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x+2}\\{y=-\frac{2}{3}x}\end{array}\right.$，解方程组求出点P的坐标，进而得到点E的坐标．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-2}+（b-3）^{2}$=0，（c-4）²≤0，
∴a=2，b=3，c=4；

（2）∵点P（m，n）在第二象限，四边形CBOP的面积为y，
∴y=梯形OACB的面积+△OAP的面积
=$\frac{1}{2}$（2+4）×3+$\frac{1}{2}$（-m）×2
=9-m；
设直线AC的解析式为y=kx+2，
将C（3，4）代入，得4=3k+2，
∴k=$\frac{2}{3}$，
∴直线AC的解析式为y=$\frac{2}{3}$x+2，
∵点P、点A、点C在同一条直线上，P（m，n），
∴n=$\frac{2}{3}$m+2；

（3）∵PE∥OB，PO∥AB，
∴四边形POBE是平行四边形，
∴BO=PE=3．
易求直线AB的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+2，
∴直线OP的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x+2}\\{y=-\frac{2}{3}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（-$\frac{3}{2}$，1），
∵PE∥OB，PE=3，
∴点E的坐标为（$\frac{3}{2}$，1）．

点评 此题考查了坐标与图形性质，非负数的性质，图形面积的求法，待定系数法求直线的解析式，平行四边形的判定与性质，直线与点平移的规律，两直线交点的求法等知识，综合性较强，有一定难度．