Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于78．

Answer 1

分析 由勾股定理求出BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=25，求出△ABC的面积=150，证明△CDE∽△CBA，得出$\frac{CE}{AC}=\frac{CD}{CB}$，求出CE=12，得出BE=BC-CE=13，再由三角形的面积关系即可得出答案．

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=25，△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×15×20=150，
∵AD=5，
∴CD=AC-AD=15，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠BAC=90°，
又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{CD}{CB}$，即$\frac{CE}{20}=\frac{15}{25}$，
解得：CE=12，
∴BE=BC-CE=13，
∵△ABE的面积：△ABC的面积=BE：BC=13：25，
∴△ABE的面积=$\frac{13}{25}$×150=78；
故答案为：78．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键