Question

8．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，AC是⊙O的直径，AC，PB的延长线交于点E，若tan∠BAE=$\frac{1}{2}$，求sin∠E的值．

Answer 1

分析 连接OB，由切线的性质得出∠OAP=∠OBE=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO，得出AB⊥OP，证出∠BAE=∠APO，得出tan∠APO=$\frac{OA}{PA}$=tan∠BAE=$\frac{1}{2}$，设OA=1，则OB=OC=OA=1，PA=2，证明△OBE∽△PAE，得出的也不错了$\frac{BE}{AE}=\frac{OB}{PA}$=$\frac{1}{2}$，得出BE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$（2+CE）=1+$\frac{1}{2}$CE①，由勾股定理得出BE²=OE²+OB²=（1+CE）²+1²②，由①②求出CE=$\frac{2}{3}$，得出OE=OC+CE=$\frac{5}{3}$，由三角函数定义即可得出结果．

解答 解：连接OB，如图所示：
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBE=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO，
∴AB⊥OP，
∴∠BAE+∠PAB=90°，∠APO+∠PAB=90°，
∴∠BAE=∠APO，
∴tan∠APO=$\frac{OA}{PA}$=tan∠BAE=$\frac{1}{2}$，
设OA=1，则OB=OC=OA=1，PA=2，
∵∠OAP=∠OBE=90°，∠E=∠E，
∴△OBE∽△PAE，
∴$\frac{BE}{AE}=\frac{OB}{PA}$=$\frac{1}{2}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$（2+CE）=1+$\frac{1}{2}$CE①，
又∵BE²=OE²+OB²=（1+CE）²+1²②，
由①②得：CE=$\frac{2}{3}$或CE=-2（舍去），
即CE=$\frac{2}{3}$，
∴OE=OC+CE=$\frac{5}{3}$，
∴sinE=$\frac{OB}{OE}$=$\frac{1}{\frac{5}{3}}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识；求出CE是解决问题的关键．