Question

已知二次函数y=

1

2

x²+kx+k-

1

2

．
（1）求证：不论k为任何实数，该二次函数的图象与x轴总有公共点；
（2）若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为（3，0），求B点坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）令y=0得到关于x的一元二次方程，再用k表示出该方程的判别式，可判断出其根的情况，可证得结论；
（2）把A点坐标代入可求得抛物线的解析式，再令y=0，可求得方程的解，可得出B点坐标．

解答： （1）证明：令y=0可得

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2

x²+kx+k-

1

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=0，
∵△=k²-4×

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×（k-

1

2

）=k²-2k+1=（k-1）²≥0，
∴不论k为任何实数，方程

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x²+kx+k-

1

2

=0总有实数根，
∴二次函数y=

1

2

x²+kx+k-

1

2

的图象与x轴总有公共点；
（2）解：∵A（3，0）在抛物线y=

1

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x²+kx+k-

1

2

上，
∴

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2

×3²+3k+k-

1

2

=0，解得k=-1，
∴二次函数的解析式为y=

1

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x²-x-

3

2

，
令y=0，即

1

2

x²-x-

3

2

=0，解得x=3或x=-1，
∴B点坐标为（-1，0）．

点评：本题主要考查二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标为对应一元二次方程的两根是解题的关键．