Question

10．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°．现将一个三角板DEF的直角顶点D放在AB的中点处．两条直角边DE、DF分别与AC、BC相交于点P、H，连接PH．
（1）请判断△DPH的形状，并说明理由；
（2）求证：BH+AP=BC．

Answer 1

分析 （1）连接CD，求出∠PCD=∠B，∠PDC=∠HDB，DC=DB，证△PDC≌△HDB即可；
（2）由（1）知△PDC≌△HDB，则有PC=BH，从而可以证得结论．

解答 （1）△DPH为等腰直角三角形
证明：连接CD，

∵△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D为AC中点，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$AB，∠ACD=∠BCD=∠A=∠B=45°，CD⊥AB，
∴∠BDC=90°=∠EDF，
∴∠PDC=∠HDB=90°-∠CDH，
在△PDC和△HDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCD=∠B}\\{DC=DB}\\{∠PDC=∠HDB}\end{array}\right.$
△PDC≌△HDB（ASA），
∴PD=DH，
∴△DPH为等腰直角三角形．
（2）由（1）知△PDC≌△HDB，
∴PC=BH，
∴AC=BC=AP+PC=BH+AP，
∴BH+AP=BC．

点评 解决本题主要利用ASA求三角形全等，还运用了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质；解决此题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．