Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E，交BC于F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）①若点E为OD的中点，则以O、A、C、E为顶点的四边形是

 

；
②若点E为弧BC的中点，AB=4，BD=3，求BC的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）由AB是直径得∠ACB=90°，则∠BAC+∠ABC=90°，加上∠CBD=∠BAC，则∠CBD+∠ABC=90°，即∠ABD=90°，于是根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）①连结CE、BE，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由点E为OD的中点得到BE=OE=DE，则可判断△OBE为等边三角形，得到∠BOE=60°，利用OD∥AC得∠A=∠BOE=60°，又可判断△OAC为等边三角形，则∠ACO=60°，AC=AO，再利用AC∥OD得到∠ACO=∠COE=60°，可判断△OCE为等边三角形，则OE=CE，所以OA=OE=CE=AC，于是根据菱形的判定方法即可得到四边形AOEC为菱形；
②根据垂径定理，由点E为弧BC的中点得到OD⊥BC，则BF=CF，利用勾股定理计算出OD=

13

，再利用面积法计算出BF，然后利用BC=2BF进行计算．

解答：（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∵∠CBD=∠BAC，
∴∠CBD+∠ABC=90°，
即∠ABD=90°，
∴AB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：①连结CE、BE，如图，
∵点E为OD的中点，
∴BE=OE=DE，
∵OB=OE，
∴△OBE为等边三角形，
∴∠BOE=60°，
∵OD∥AC，
∴∠A=∠BOE=60°，
而OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠ACO=60°，AC=AO，
∵AC∥OD，
∴∠ACO=∠COE=60°，
∴△OCE为等边三角形，
∴OE=CE，
∴OA=OE=CE=AC，
∴四边形AOEC为菱形；
故答案为菱形；
②∵点E为弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BF=CF，
在Rt△OBD中，∵OB=2，BD=3，
∴OD=

OB2+BD2

=

13

，
∵

1

2

BF•OD=

1

2

OB•BD，
∴BF=

2×3

13

=

6 13

13

，
∴BC=2BF=

12 13

13

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质和菱形的判定．