Question

15．已知关于x的一元二次方程mx²-（3m+2）x+6=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．

Answer 1

分析 （1）求出△的值，再判断出其符号即可；
（2）先求出x的值，再由方程的两个实数根都是整数，且m是正整数求出m的值即可．

解答 （1）证明：∵m≠0，
∴mx²-（3m+2）x+6=0是关于x的一元二次方程
∵△=[-（3m+2）]²-4m×6=9m²+12m+4-24m=9m²-12m+4=（3m-2）²≥0
∴此方程总有两个实数根．

（2）解：∵（x-3）（mx-2）=0
∴x₁=3，x₂=$\frac{2}{m}$．
∵方程的两个实数根都是整数，且m是正整数，
∴m=1或 m=2．

点评 本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac的关系是解答此题的关键．