Question

9．如图，O为Rt△ABC的直角边AC上一点，以OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交AC于点E，已知AB=5，AC=4，求BD的长和⊙O的半径．

Answer 1

分析 在直角△ABC中利用勾股定理求得BC的长，然后证明BC是切线，利用切线长定理求得BD的长，然后连接OD，证明△OAD∽△BAC，利用相似三角形的对应边的比相等求解．

解答 解：在直角△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴BC是半圆的切线，
又∵AB与半圆相切，
∴BD=BC=3，AD=AB-BD=5-3=2．
连接OD．
∵AB是切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODA=∠BCA，
又∵∠A=∠A，
∴△OAD∽△BAC，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{OD}{3}$=$\frac{2}{4}$，
解得OD=$\frac{3}{2}$．即半径长是$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了勾股定理、切线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，正确证明△OAD∽△BAC是关键．