Question

【题目】【发现证明】如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，试判断BE，EF，FD之间的数量关系．

小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，通过证明△AEF≌△AGF；从而发现并证明了EF=BE+FD．
（1）【类比引申】如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边CB，CD的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，请根据小聪的发现给你的启示写出EF，BE，DF之间的数量关系，并证明；

（2）【联想拓展】如图3，如图，∠BAC=90°，AB=AC，点E、F在边BC上，且∠EAF=45°，若BE=3，EF=5，求CF的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：DF=EF+BE．

理由：如图1所示， ∵AB=AD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，

∵∠ADC=∠ABE=90°，

∴点C、D、G在一条直线上，

∴EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD，

∵∠BAG+∠GAD=90°，

∴∠EAG=∠BAD=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠FAG=∠EAG﹣∠EAF=90°﹣45°=45°，

∴∠EAF=∠GAF，

在△EAF和△GAF中，

，

∴△EAF≌△GAF，

∴EF=FG，

∵FD=FG+DG，

∴DF=EF+BE

（2）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴将△ABE绕点A顺时针旋转90°得△ACG，连接FG，如图2，

∴AG=AE，CG=BE，∠ACG=∠B，∠EAG=90°，

∴∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，

∴FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；

又∵∠EAF=45°，

而∠EAG=90°，

∴∠GAF=90°﹣45°，

在△AGF与△AEF中，

，

∴△AEF≌△AGF，

∴EF=FG，

∴CF2=EF2﹣BE2=52﹣32=16，

∴CF=4．

【解析】（1）首先把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，然后再证明△AFE≌△AFG，依据全等三角形对应边相等可得到EF=FG，接下来，由FD=FG+DG可得到DF=EF+BE；
（2）首先将△ABE绕点A顺时针旋转90°得△ACG，连接FG，然后依据旋转的性质可得到AG=AE，CG=BE，∠ACG=∠B，∠EAG=90°，∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，接下来，再依据勾股定理可证明FG2=FC2+CG2=BE2+FC2，然后根据全等三角形的性质得到FG=EF，最后，再利用勾股定理可求得CF的长.
【考点精析】解答此题的关键在于理解图形的旋转的相关知识，掌握每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．旋转的方向、角度、旋转中心是它的三要素．