Question

【题目】在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板（△ABC）按如图所示放置，若AO＝2，OC＝1，∠ACB＝90°．

（1）直接写出点B的坐标是　 ；

（2）如果抛物线l：y＝ax2﹣ax﹣2经过点B，试求抛物线l的解析式；

（3）把△ABC绕着点C逆时针旋转90°后，顶点A的对应点A1是否在抛物线l上？为什么？

（4）在x轴上方，抛物线l上是否存在一点P，使由点A，C，B，P构成的四边形为中心对称图形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点B的坐标为（3，1）；（2）y＝x2﹣x﹣2；（3）点A1在抛物线上；理由见解析；（4）存在，点P（﹣2，1）．

【解析】

（1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，通过证明△BDC≌△COA即可得BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，从而得知B坐标；

（2）利用待定系数法，将B坐标代入即可求得；

（3）画出旋转后的图形，过点作x轴的垂线，构造全等三角形，求出的坐标代入抛物线解析式即可进行判断；

（4）由抛物线的解析式先设出P的坐标，再根据中心对称的性质 与线段中点的公式列出方程求解即可。

（1）如图1，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，

∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠AC0+∠OAC＝90°，

∴∠BCD＝∠CAO，

又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，

在△BDC和△COA中：

∵∠BDC=∠COA，∠BCD＝∠CAO，CB=AC，

∴△BDC≌△COA（AAS），

∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，

∴点B的坐标为（3，1）；

（2）∵抛物线y＝ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），

∴1＝9a﹣3a﹣2，

解得：a＝，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；

（3）旋转后如图1所示，过点A1作A1M⊥x轴，

∵把△ABC绕着点C逆时针旋转90°，

∴∠ABC＝∠A1BC＝90°，

∴A1，B，C共线，

在三角形BDC和三角形A1CM中：

∵∠BDC=∠A1MC=90°，∠BCD=∠A1CM，A1C=BC,

∴△BDC≌△A1CM

∴CM＝CD＝3﹣1＝2，A1M＝BD＝1，

∴OM＝1，

∴点A1（﹣1，﹣1），

把点x＝﹣1代入y＝x2﹣x﹣2，

y＝﹣1，

∴点A1在抛物线上．

（4）设点P（t， t2﹣t﹣2），

点A（0，2），点C（1，0），点B（3，1），

若点P和点C对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：

，，

无解，

若点P和点A对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：

，，

无解，

若点P和点B对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：

，，

解得：t＝﹣2，

t2﹣t﹣2＝1

所以：存在，点P（﹣2，1）．