Question

【题目】一、阅读材料：

已知实数m，n满足（2m2＋n2＋1）（2m2＋n2－1）=80，试求2m2＋n2的值．

解：设2m2＋n2=t，则原方程变为（t＋1）（t－1）=80，整理得t2－1=80，t2=81，所以t=土9，因为2m2＋n2＞0，所以2m2＋n2=9．

二、方法归纳：

上面这种方法称为“　　　　 法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．

三、探索实践：

根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．

（1）已知实数x、y，满足（2x2＋2y2＋3）（2x2＋2y2－3）=27，求x2＋y2的值．

（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2＋b2）（a2＋b2－4）=5，求Rt△ACB外接圆的半径．

Answer 1

【答案】换元；（1）3；（2）

【解析】

方法归纳：根据题意可知，这种方法称为换元法；

（1）设2x2＋2y2=t，利用材料中提供的方法，解关于t的方程即可得出结果；

（2）设a2＋b2=t，利用材料中提供的方法先求出a2＋b2的值，再利用直角三角形的性质即可求出结果.

解：二、方法归纳：换元

三、探索实践：

（1）设2x2＋2y2=t，则原方程可变为：（t＋3）（t－3）=27，解之得t=±6．

∵2x2＋2y2≥0，∴2x2＋2y2=6，∴x2＋y2=3；

（2）设a2＋b2=t，则原方程可变为：t（t－4）=5，即t2－4t－5=0，

解之得t1=5，t2=－1．

∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2=5，∴c2=5，∴c=，∴外接圆半径为.