Question

4．如图，已知平行四边形ABCD，延长AD到E，使DE=AD，连接BE与DC交于O点．
（1）求证：△BOC≌△EOD；
（2）当△ABE满足什么条件时，四边形BCED是菱形？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形性质得出AD=BC，AD∥BC，推出∠EDO=∠BCO，∠DEO=∠CBO，求出DE=BC，根据ASA推出两三角形全等即可；
（2）当∠ABE=90°时，四边形BCED是菱形．先证明四边形BCED是平行四边形即可．

解答 证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，
AD=BC，AD∥BC，
∴∠EDO=∠BCO，∠DEO=∠CBO，
∵DE=AD，
∴DE=BC，
在△BOC和△EOD中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠OBC=∠OED}\\{BC=DE}\\{∠OCB=∠ODE}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△EOD（ASA）；

（2）结论：当∠ABE=90°时，BE⊥CD，四边形BCED是菱形．
∵DE=BC，DE∥BC，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴EO=OB，
∵DE=AD，
∴OD∥AB，
∴∠EOD=∠ABE，
∴当∠ABE=90°时，BE⊥CD，四边形BCED是菱形．

点评 本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．