Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，P是AB延长线上一点，连结AC，PC，过点O作AC的垂线交AC于点D，交⊙O于点E．若AC=PC，AB=8，∠P=30°．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）根据AC=PC，∠P=30°，得∠CAO=30°，连接OC，可求得∠PCO=90°，即PC⊥OC，从而可证明PC是⊙O的切线；
（2）由AB=8，得AO=

1

2

AB，再由∠CAO=30°，OE⊥AC，得OD和CD的长，从而得出S_阴影部分=S_扇形OCE-S_△OCD即可．

解答：（1）证明：∵AC=PC，∠P=30°，
∴∠CAO=30°，
连接OC．
∴∠COP=2∠CAO=60°，
∴∠PCO=180°-∠ACO-∠COP=90°，
即PC⊥OC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB=8，
∴AO=

1

2

AB=4，
又∵∠CAO=30°，OE⊥AC
∴OD=

1

2

OA=2，CD=AD=

3

2

OA=2

3

，
∴S_阴影部分=S_扇形OCE-S_△OCD=

60

360

π×42-

1

2

×2×2

3

=

8

3

π-2

3

．

点评：本题考查了切线的判定以及扇形面积的计算，是基础题，难度不大．