Question

【题目】如图，等边△ABC的边长为6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.

（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；

（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）线段ED的长度保持不变.

【解析】

(1)过P点作PF//AC交BC于F，由题意可证△BPF是等边三角形，△PFD≌△QCD，即可求CD的长；

(2)分点P在线段AB上，点P在线段BA的延长线上两种情况讨论，利用全等三角形的性质和判定可得DE的长度不变．

解：（1）如图，过P点作PF∥AC交BC于F，

∵点P和点Q同时出发，且速度相同，

∴BP=CQ，

∵PF∥AQ，

∴∠PFB=∠ACB=60°，∠DPF=∠CQD，

又∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠PFB，

∴BP=PF，

∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，

∴△PFD≌△QCD，且△PBF是等边三角形

∴，BF=PB

∵P是AB的中点，即，

∴BF=3

∴;

（2）分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段

如图，如果点P在线段AB上，

过点P作PF∥AC交BC于F，

由（1）证得△PFD≌△QCD，且△PBF是等边三角形

∴

∴

∴ED为定值

同理，如图，若P在BA的延长线上，

作PM∥AC的延长线于M，

∴∠PMC=∠ACB，又∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB=60°，

∴∠B=∠PMC=60°，

∴PM=PB，且PE⊥BC

∴，△PBM是等边三角形

∴PM=PB=CQ

∵PM∥AC

∴∠PMB=∠QCM，∠MPD=∠CQD且PM=CQ

∴△PMD≌△QCD（ASA），

∴，

∴

综上所述，线段ED的长度保持不变.