Question

1．如图，将30°的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连接EB、EC，则下列结论：①∠DAC=∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③∠BED=30°；④ED=2AB．其中正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 先利用旋转的性质得到AB=AC，AC=AE，∠BAC=∠EAC，则可判断△ABD为等边三角形，所以∠BAD=∠ADB=60°，则∠EAC=∠BAD=60°，再计算出∠DAC=30°，于是可对①进行判断；接着证明△AEC为等边三角形得到EA=EC，加上DA=DC，则根据线段垂直平分线的判定方法可对②进行判断；然后根据等边三角形的性质得DE平分∠AEC，则∠AED=30°，则可对③进行判断；接下来证明∠EAD=90°，则利用含30度的直角三角形三边的关系得到ED=2AD，所以ED=2AB，则可对④进行判断．

解答 解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，
∴∠ABC=60°，
∵△ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，
∴AB=AC，AC=AE，∠BAC=∠EAC，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠BAD=∠ADB=60°，
∴∠EAC=∠BAD=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC=30°=∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA，所以①正确；
∵AC=AE，∠EAC=60°，
∴△AEC为等边三角形，
∴EA=EC，
而DA=DC，
∴ED为AC的垂直平分线，所以②正确；
∴DE平分∠AEC，
∴∠AED=30°，
∴∠BED＜30°，所以③错误；
∵∠EAD=∠EAC+∠CAD=60°+30°=90°，
在Rt△AED中，∵∠AED=30°，
∴ED=2AD，
∴ED=2AB，所以④正确．
故选B．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定．