如图1.在直角坐标系中.抛物线C:y=$\frac{1}{2}$(x-3)2+3与直线y=kx+b相交于M.N两点.点P(3.t)是x轴下方一点.且直线x=3平分∠MPN(1)探究与猜想:当t=-1时①探究:取点M(1.5)时.点N的坐标为.直接写出直线MN的解析式y=x=4,取点.直接写出直线MN的解析式为y=$\frac{1}{6}$x+$\frac{13}{2}$,②猜想:对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．如图1，在直角坐标系中，抛物线C：y=$\frac{1}{2}$（x-3）²+3与直线y=kx+b（k≠0）相交于M、N两点，点P（3，t）是x轴下方一点，且直线x=3平分∠MPN
（1）探究与猜想：当t=-1时
①探究：取点M（1，5）时，点N的坐标为（7，11），直接写出直线MN的解析式y=x=4；
取点（6，$\frac{15}{2}$），直接写出直线MN的解析式为y=$\frac{1}{6}$x+$\frac{13}{2}$；
②猜想：对于P（3，t），我们猜想直线MN必经过一个定点Q，其坐标为（3，6-t），并证明你的猜想；
（2）应用如图2，当t=-3时，直线MN经过原点，在抛物线上存在一点E，使S_△EMN=$\frac{1}{2}$S_△PMN，并直接写出所有符合条件的E点的坐标．

分析（1）①根据点M、N的坐标，利用待定系数法即可解决问题．
②猜想Q（3，6-t）．设直线MN的解析式：y=kx+b（k≠0），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=\frac{1}{2}（x-3）^{2}+3}\end{array}\right.$得x²-（2k+6）x+15-2b=0可得x_M+x_N=2k+6，x_M•x_N=15-2b，由tan∠MPQ=tan∠NPQ，得$\frac{3-{x}_{M}}{{y}_{M}-t}$=$\frac{{x}_{N}-3}{{y}_{N}-t}$，化简得12k-2kb-2kt-6k²=0，因为k≠0所以6-b-t-3k=0，所以b=6-t-3k，所以y=kx+6-t-3k=k（x-3）+6-t，由此即可判定过定点Q（3，6-t）．
（2）由题意，Q（3，9），直线MN经过（0，0），Q（3，9），可得直线MN的解析式为y=3x，过P作PG∥MN交y轴于G，则直线PG的解析式为y=3x-12，
取OG的中点F（0，-6），H（0，6），过点F作MN的平行线交抛物线于E₁、E₂，此时△EMN的面积=$\frac{1}{2}$△PMN的面积，直线EF解析式为y=3x-6，由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-6}\\{y=\frac{1}{2}（x-3）^{2}+3}\end{array}\right.$解方程组可得点E₁、E₂，的坐标，同法可得E₃、E₄的坐标．

解答解：（1）①设直线MN的解析式为y=kx+b，
把M（1，5），N（7，11）的坐标代入得到$\left\{\begin{array}{l}{k+b=5}\\{7k+b=11}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线MN的解析式为y=x+4．
故答案为y=x+4．
∵直线x=3平分∠MPN，
∴点（6，$\frac{15}{2}$）关于直线x=3的对称点在抛物线上，
即（0，$\frac{15}{2}$）在抛物线上，直线AP经过点（0，$\frac{15}{2}$），
∴直线PM的解析式为y=-$\frac{17}{6}$x+$\frac{15}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{17}{6}x+\frac{15}{2}}\\{y=\frac{1}{2}（x-3）^{2}+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=\frac{15}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{59}{9}}\end{array}\right.$，
∴M（$\frac{1}{3}$，$\frac{59}{9}$），N（6，$\frac{15}{2}$），
∴直线MN的解析式为y=$\frac{1}{6}$x+$\frac{13}{2}$．
故答案为y=$\frac{1}{6}$x+$\frac{13}{2}$．

②猜想Q（3，6-t）．理由如下，
证明：设直线MN的解析式：y=kx+b，（k≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=\frac{1}{2}（x-3）^{2}+3}\end{array}\right.$得x²-（2k+6）x+15-2b=0
∴x_M+x_N=2k+6，x_M•x_N=15-2b，
由tan∠MPQ=tan∠NPQ，得
$\frac{3-{x}_{M}}{{y}_{M}-t}$=$\frac{{x}_{N}-3}{{y}_{N}-t}$，化简得12k-2kb-2kt-6k²=0，
∵k≠0
∴6-b-t-3k=0，
∴b=6-t-3k，
∴y=kx+6-t-3k=k（x-3）+6-t，
∴Q（3，6-t）．
故答案为（3，6-t）．

（2）如图2中，

由题意，Q（3，9），直线MN经过（0，0），Q（3，9），
∴直线MN的解析式为y=3x，
过P作PG∥MN交y轴于G，则直线PG的解析式为y=3x-12，
取OG的中点F（0，-6），H（0，6），
过点F作MN的平行线交抛物线于E₁、E₂，此时△EMN的面积=$\frac{1}{2}$△PMN的面积，
直线EF解析式为y=3x-6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-6}\\{y=\frac{1}{2}（x-3）^{2}+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=9}\\{y=21}\end{array}\right.$，
∴E₁（9，21），E₂（3，3），
过点H作MN的平行线，与抛物线交于点E₃、E₄，此时此时△EMN的面积=$\frac{1}{2}$△PMN的面积，
直线EH的解析式为y=3x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+6}\\{y=\frac{1}{2}（x-3）^{2}+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6-\sqrt{33}}\\{y=24-3\sqrt{33}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6+\sqrt{33}}\\{y=24+3\sqrt{33}}\end{array}\right.$，
∴E₃（6+$\sqrt{33}$，24+3$\sqrt{33}$），E₄（6-$\sqrt{33}$，24-3$\sqrt{33}$），
综上所述，满足条件的点E的坐标为（9，21）或（3，3）或（6+$\sqrt{33}$，24+3$\sqrt{33}$）或（6-$\sqrt{33}$，24-3$\sqrt{33}$）．