Question

4．如图1，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于点A（4，0）和点B（-1，0），与y轴交干点C，连结BC，CE∥x轴交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线对称轴交x轴于点F，连结CF，EF，直线y=kx（x＞0）与直线CA交于点D，当OD平分△BCA的面积时，求证：点D是△CEF的内心
（3）如图2，过点E作ER⊥x轴于点R，G是线段OR上动点，作ES⊥CG于点S．
①当△ESR是等腰三角形时，求OC的长．
②若点B₁与点B关于直线CG对称，当EB₁的值最小时，直接写出OG的值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于点A（4，0）和点B（-1，0），可知抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-4）（x+1），写成一般式即可．
（2）首先求出点D的坐标，只要证明DF平分∠CFE，CD平分∠ECF即可．
（3）①分三种情形，想办法列出方程即可解决问题．②如图由题意，动点B′在以C为圆心$\sqrt{5}$为半径的⊙C上，易知当B′在线段CE上时，EB′最小．此时∠ECG=∠CGB=∠BCG，推出BC=BG，推出OG=BC-OB=$\sqrt{5}$-1．

解答 （1）解：∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于点A（4，0）和点B（-1，0），
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-4）（x+1）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．

（2）证明：如图1中，

∵A（4，0），B（-1，0），C（0，2），
∴OB=1，OA=4，OC=2，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，设D（m，-$\frac{1}{2}$m+2），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×5×2=5，
由题意S_△AOD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$m+2）=$\frac{5}{2}$，
∴m=$\frac{3}{2}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{4}$），
∵抛物线的对称轴x=$\frac{3}{2}$，
∴点D在对称轴上，DF平分∠CFE，
在Rt△COF中，CF=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，∵AF=$\frac{5}{2}$，
∴CF=AF，
∴∠FAC=∠FCA，
∵CE∥OA，
∴∠ECA=∠CAF=∠ACF，
∴CD平分∠ECF，
∴点D是△ECF的内心．

（3）①如图2中，设G（m，0），

当ES=ER时，由△OCG∽△SEC，
∴$\frac{OC}{SE}$=$\frac{OG}{CS}$，
在Rt△CES中，CS=$\sqrt{C{E}^{2}-E{S}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{2}{2}$=$\frac{m}{\sqrt{5}}$，
∴m=$\sqrt{5}$，
∴OG=$\sqrt{5}$．
当SE=ER时，如图3中，作SN⊥ER于N，则EN=NR=1，S（$\frac{1}{2}$m，1），SN=3-$\frac{m}{2}$，

由△OCG∽△NSE，可得$\frac{OG}{EN}$=$\frac{OC}{SN}$，
∴$\frac{m}{1}$=$\frac{2}{3-\frac{m}{2}}$，
解得m=3-$\sqrt{5}$或3+$\sqrt{5}$（舍弃），
∴OG=3-$\sqrt{5}$．
当RE=RS时，如图4中，作RN⊥SE于N，GM⊥RN于M．则SN=EN=GM，设SN=EN=GM=x，

由△OCG∽△MGR，可得$\frac{CG}{GR}$=$\frac{OC}{GM}$，
∴$\frac{\sqrt{4+{m}^{2}}}{3-m}$=$\frac{2}{x}$，
∴x=$\frac{2（3-m）}{\sqrt{4+{m}^{2}}}$，
∴SN=EN=GM=$\frac{2（3-m）}{\sqrt{4+{m}^{2}}}$，
由△OCG∽△NRE，可得$\frac{OG}{EN}$=$\frac{CG}{ER}$，
∴$\frac{m}{\frac{2（3-m）}{\sqrt{4+{m}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{4+{m}^{2}}}{2}$，
解得m=$\frac{3}{2}$，
∴OG=$\frac{3}{2}$，
综上所述，当△ESR是等腰三角形时，OG的长为$\sqrt{5}$或3-$\sqrt{5}$或$\frac{3}{2}$．

②如图5中，

如图由题意，动点B′在以C为圆心$\sqrt{5}$为半径的⊙C上，易知当B′在线段CE上时，EB′最小．
此时∠ECG=∠CGB=∠BCG，
∴BC=BG，
∴OG=BC-OB=$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、圆的有关知识、勾股定理、三角形的内心、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．