Question

15．如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延长线于点P，连结PO交⊙O于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PC=3，PF=1，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，欲证明PC是⊙O的切线，只要证明PC⊥OC即可．
（2）延长PO交圆于G点，由切割线定理求出PG即可解决问题．

解答 解：（1）如图，连接OC，
∵PD⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∵∠ECP=∠AED，
又∵∠EAD=∠ACO，
∴∠PCO=∠ECP+∠ACO=∠AED+∠EAD=90°，
∴PC⊥OC，
∴PC是⊙O切线．
（2）解法一：
延长PO交圆于G点，
∵PF×PG=PC²，PC=3，PF=1，
∴PG=9，
∴FG=9-1=8，
∴AB=FG=8．
解法二：
设⊙O的半径为x，则OC=x，OP=1+x
∵PC=3，且OC⊥PC
∴3²+x²=（1+x）²
解得x=4
∴AB=2x=8

点评 本题考查切线的判定、切割线定理、等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．