Question

6．在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax²相交于A，B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上．
（1）已知a=1，点B的纵坐标为2．
①如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长．
②如图2，若BD=$\frac{1}{2}$AB，过点B，D的抛物线L₂，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式．
（2）如图3，若BD=AB，过O，B，D三点的抛物线L₃，顶点为P，对应函数的二次项系数为a₃，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于E，F两点，求$\frac{{a}_{3}}{a}$的值，并直接写出$\frac{AB}{EF}$的值．

Answer 1

分析 （1）①根据函数解析式求出点A、B的坐标，求出AC的长；
②作抛物线L₂的对称轴与AD相交于点N，根据抛物线的轴对称性求出OM，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（2）过点B作BK⊥x轴于点K，设OK=t，得到OG=4t，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式，根据抛物线过点B（t，at²），求出$\frac{{a}_{3}}{a}$的值，根据抛物线上点的坐标特征求出$\frac{AB}{EF}$的值．

解答 解：（1）①二次函数y=x²，当y=2时，2=x²，
解得x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$，
∴AB=2$\sqrt{2}$．
∵平移得到的抛物线L₁经过点B，
∴BC=AB=2$\sqrt{2}$，
∴AC=4$\sqrt{2}$．
②作抛物线L₂的对称轴与AD相交于点N，如图2，
根据抛物线的轴对称性，得BN=$\frac{1}{2}$DB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
设抛物线L₂的函数表达式为y=a（x-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²，
由①得，B点的坐标为（$\sqrt{2}$，2），
∴2=a（$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²，
解得a=4．
抛物线L₂的函数表达式为y=4（x-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²；
（2）如图3，抛物线L₃与x轴交于点G，其对称轴与x轴交于点Q，
过点B作BK⊥x轴于点K，
设OK=t，则AB=BD=2t，点B的坐标为（t，at²），
根据抛物线的轴对称性，得OQ=2t，OG=2OQ=4t．
设抛物线L₃的函数表达式为y=a₃x（x-4t），
∵该抛物线过点B（t，at²），
∴at²=a₃t（t-4t），
∵t≠0，
∴$\frac{{a}_{3}}{a}$=-$\frac{1}{3}$，
由题意得，点P的坐标为（2t，-4a₃t²），
则-4a₃t²=ax²，
解得，x₁=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，x₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，
EF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$t，
∴$\frac{AB}{EF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，灵活运用待定系数法求出函数解析式、掌握抛物线的对称性、正确理解抛物线上点的坐标特征是解题的关键．