题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当| OA |
| OB |
| 1 |
| 2 |
| OP |
| OQ |
| OA |
| OB |
| 1 |
| n |
考点：相似三角形的判定与性质
专题：规律型
分析：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，由OD∥BC，OE∥AC易得△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，根据相似的性质得
=
，
=
，由于
=
，则
=
，
=
，所以
=
，在Rt△ABC中，利用正切的定义得tanB=tan30°=
=
，即
=
，所以
=
；利用等角的余角相等得到∠DOP=∠QOE，则Rt△DOP∽Rt△EOQ，则
=
=
，且当n=2时，即
=
时，
=
．
| OD |
| BC |
| AO |
| AB |
| OE |
| AC |
| BO |
| BA |
| OA |
| OB |
| 1 |
| n |
| OD |
| BC |
| 1 |
| n+1 |
| OE |
| AC |
| n |
| n+1 |
| OD |
| OE |
| BC |
| n•AC |
| AC |
| BC |
| ||
| 3 |
| BC |
| AC |
| 3 |
| OD |
| OE |
| ||
| n |
| OP |
| OQ |
| OD |
| OE |
| ||
| n |
| OA |
| OB |
| 1 |
| 2 |
| OP |
| OQ |
| ||
| 2 |
解答：
解：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如图，
∵∠ACB=90°，
∴OD∥BC，OE∥AC，
∴△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，
∴
=
，
=
，
∵
=
，
∴
=
，
=
，
∴
=
，
=
，
∴
=
，
在Rt△ABC中，tanB=tan30°=
=
，即
=
，
∴
=
，
∵∠POQ=90°，
而∠DOE=90°，
∴∠DOP=∠QOE，
∴Rt△DOP∽Rt△EOQ，
∴
=
=
，
当n=2时，即
=
时，
=
．
故答案为
，
．
解：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如图，∵∠ACB=90°，
∴OD∥BC，OE∥AC，
∴△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，
∴
| OD |
| BC |
| AO |
| AB |
| OE |
| AC |
| BO |
| BA |
∵
| OA |
| OB |
| 1 |
| n |
∴
| OA |
| AB |
| 1 |
| n+1 |
| OB |
| AB |
| n |
| n+1 |
∴
| OD |
| BC |
| 1 |
| n+1 |
| OE |
| AC |
| n |
| n+1 |
∴
| OD |
| OE |
| BC |
| n•AC |
在Rt△ABC中，tanB=tan30°=
| AC |
| BC |
| ||
| 3 |
| BC |
| AC |
| 3 |
∴
| OD |
| OE |
| ||
| n |
∵∠POQ=90°，
而∠DOE=90°，
∴∠DOP=∠QOE，
∴Rt△DOP∽Rt△EOQ，
∴
| OP |
| OQ |
| OD |
| OE |
| ||
| n |
当n=2时，即
| OA |
| OB |
| 1 |
| 2 |
| OP |
| OQ |
| ||
| 2 |
故答案为
| ||
| 2 |
| ||
| n |
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比．
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C、 |
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