Question

16．如图，P为正方形ABCD对角线AC上一动点，（P点与A不重合），连结PD，
（1）试判断△ABP与△ADP是否全等，并说明理由；
（2）过点P作PE⊥BP交边DC于E点，若过P点作AD的平行线交DE于F点，试探究PF是否平分DE，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形得到AB=AD，∠BAC=∠DAC，由SAS证明△ABP≌△ADP即可；
（2）由全等三角形的性质得到PB=PD，∠PBC=∠PDC，再证明∠PDC=∠PED，等角对等边得到PE=PD，再由等腰三角形的三线合一性质即可得出结论．

解答 解：（1）△ABP≌△ADP；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP=45°．
在△ABP和△ADP中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAP=∠DAP}&{\;}\\{AP=AP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ADP（SAS）．
（2）PF平分DE，理由如下：
由（1）得：△ABP≌△ADP，
∴PB=PD，∠PBC=∠PDC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCA=90°，
∴∠BCF=90°，
∵∠BPE=∠BCF，
∴∠BPE=90°，
∵四边形PBCE的内角和为360°，
∴∠PBC+∠PEC=180°，
∵∠PED+∠PEC=180°，
∴∠PBC=∠PED，
∴∠PDC=∠PED，
∴PE=PD，
∵PF∥AD，AD⊥CD，
∴PF⊥DE，
∴PF平分DE．

点评 此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四边形内角和定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．