Question

【题目】如图，是☉的直径，为☉上一点，是半径上一动点（不与重合），过点作射线，分别交弦，于两点，过点的切线交射线于点．

（1）求证：．

（2）当是的中点时，

①若，判断以为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；

②若，且，则_________．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①以为顶点的四边形是菱形；②9

【解析】

（1）连接OC，根据切线的性质得出OC⊥CF以及∠OBC=∠OCB得∠FCD=∠FDC，可证得结论；
（2）①如图2，连接OC，OE，BE，CE，可证△BOE，△OCE均为等边三角形，可得OB=BE=CE=OC，可得结论；
②设AC=3k，BC=4k（k＞0），由勾股定理可求k=6，可得AC=18，BC=24，由面积法可求PE，由勾股定理可求OP的长．

（1）证明：如图1，连接，则．

，

．

，

，

．

，

，

．

又，

，

．

（2）解：如图2，连接与交于点．

①以为顶点的四边形是菱形．理由如下：

是直径，

．

，

．

是的中点，

．

又，

均为等边三角形，

，

四边形是菱形．

②

设，则．

在中，由勾股定理，得，即，

解得，

．

是的中点，

，

，即，解得．

在中，由勾股定理，得.

故答案为：9.