Question

【题目】已知：∠MON＝45°，点A在OM上，点B、C在ON上，且OB＞OA，

（1）如图1，当点C在点B的右侧时，在ON下方作∠NCD＝45°，交AB的延长线于点D．

①若AB＝BD，请直接写出线段OA和CD的关系　 　；

②若AB＝BD，判断线段OA和CD的关系，并说明理由；

③若AB＝10，BD＝8，OB＝14，则CD＝　 　；

（2）如图2，当点C在点B的左侧时，在ON下方作∠NCD＝45°，CD的反向延长线交AB于点A，在∠OAB的内部作∠BAE＝45°，交ON于点E，则线段OE、EB、CB之间的数量关系是　 　．

Answer 1

【答案】（1）①OA＝CD，OA⊥CD；②OA＝CD，OA⊥CD，见解析；③；（2） EB2＝OE2+CB2

【解析】

（1）①作DH∥OA交ON于H，通过证明△AOB≌△DHB（AAS），可得OA＝HD，再通过等边对等角和三角形内角和定理可得CD＝HD，∠CDH＝90°，即可得OA＝CD，CD⊥DH，再根据OA∥DH，即可得证OA⊥CD；②作DH∥OA交ON于H，通过证明△AOB∽△HDB，可得OA＝HD，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得CD＝HD，∠CDH＝90°，即可得OA＝CD，CD⊥DH，再根据OA∥DH，即可得证OA⊥CD；③作DH∥OA交ON于H，作AG⊥OB于G，再根据等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的性质求解即可；

（2）根据旋转的性质证明△BAE≌△BAG（SAS），从而可得EB＝GB，在Rt△GBC中，由勾股定理得：GB2＝CG2+CB2，即可得证EB2＝OE2+CB2．

解：（1）①结论：OA＝CD，OA⊥CD．理由如下：

作DH∥OA交ON于H．如图1所示：

∵DH∥OA，

∴∠MON＝∠BHD＝45°，

在△AOB和△DHB中，

，

∴△AOB≌△DHB（AAS），

∴OA＝HD，

∵∠NCD＝45°，

∴∠NCD＝∠BHD＝45°，

∴CD＝HD，∠CDH＝90°，

∴OA＝CD，CD⊥DH，

∵OA∥DH，

∴OA⊥CD；

故答案为：OA＝CD，OA⊥CD．

②结论：OA＝CD，OA⊥CD．

作DH∥OA交ON于H，如图1所示：

则△AOB∽△HDB，

∴，

∴OA＝HD，

∵∠NCD＝∠AOB＝∠BHD＝45°，

∴CD＝HD，∠CDH＝90°，

∴OA＝CD，CD⊥DH

∵OA∥DH，

∴OA⊥CD；

③作DH∥OA交ON于H，作AG⊥OB于G，如图2所示：

则△AOG是等腰直角三角形，

∴AG＝OG，在Rt△ABG中，

由勾股定理得：AG2+BG2＝AB2，即AG2+（14﹣AG）2＝102，

解得：AG＝6，或AG＝8（舍去），

∴AG＝6，

∴OA＝AG＝6，

∵DH∥OA，

∴△AOB∽△HDB，

∴，即，

解得：HD＝，

∵∠NCD＝∠AOB＝∠BHD＝45°，

∴CD＝HD＝；

故答案为：；

（2）结论：EB2＝OE2+CB2．理由如下：

∵∠AOB＝∠NCD＝∠ACO′＝45°，

∴△AOC是等腰直角三角形，

将△AOE绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接BG，如图3所示：

则∠ACG＝∠AOB＝45°，AG＝AE，CG＝OE，

∵∠ACO＝∠BCD＝45°，

∴∠GCO＝45°+45°＝90°，

∴∠GCB＝90°，

∵∠BAE＝45°，∠EAG＝90°，

∴∠BAG＝45°＝∠BAE，

在△BAE和△BAG中，

∴△BAE≌△BAG（SAS），

∴EB＝GB，

在Rt△GBC中，由勾股定理得：GB2＝CG2+CB2，

∴EB2＝OE2+CB2．

故答案为：EB2＝OE2+CB2．