Question

7．如图．在平而直角坐标系中，已知A（0，2），B（$\frac{b-1}{2}$，0）将点B向上平移4个单位得到点C，其中b与4的差的2倍等于6
（1）请直接写出B，C两点坐标；
（2）如果在第二象限内有一点P（t，$\frac{2}{3}$），求四边形ABOP的面积（用含t的式子表示）
（3）在（2）的条件下，若存在点P，使四边形ABOP的面积是△ABC面积的$\frac{3}{4}$，求点的P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先确定出点B的坐标，再由平移得到点C的坐标，即可；
（2）先确定出OA，OB，再用面积之和得出四边形ABOP的面积与t的关系式；
（3）先确定出三角形ABC的面积，借助（2）的结论列出方程求解即可．

解答 解：（1）∵b与4的差的2倍等于6，
∴2（b-4）=6，
∴b=7，
∴B（3，0），
∵点B向上平移4个单位得到点C，
∴C（3，4），
（2）如图，

∵A（0，2），B（3，0），
∴OA=2，OB=3
∴S_{四边形ABOP}=S_△AOB-S_△AOP=$\frac{1}{2}$OA×OB+$\frac{1}{2}$OA×|x_P|=$\frac{1}{2}$×2×3+$\frac{1}{2}$×2（-t）=-t+3，（t＜0）
（3）存在，
理由：
由（1）知，B（3，0），C（3，4），
∴BC=4，
∵A（0，2），
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×|x_B-x_A|=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∵四边形ABOP的面积是△ABC面积的$\frac{3}{4}$，
∴-t+3=$\frac{3}{4}$×6，
∴t=-$\frac{3}{2}$

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质，四边形的面积的计算方法，三角形的面积计算方法，求出四边形ABOP与t的关系式是解本题的关键．