Question

6．如图，△ABO中AB=AO=10，OB=12，以点O为原点，OB为x轴建立平面直角坐标系，点A在第一象限，直线y=x与直线AB交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）求△OBC的面积；
（3）若点P为直线y=x上一动点，是否存在一点P使得S_△OBP=${\frac{3}{2}}_{\;}$S_△OBC？若有，请求出点P的坐标；若无，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥OB于D，根据等腰三角形的性质得到OD=BD=$\frac{1}{2}$OB=6，由勾股定理得到AD=$\sqrt{A{O}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，于是得到结论；
（2）过C作CE⊥OB于E，由直线y=x与直线AB交于点C，得到CE=OE，根据相似三角形的性质得到$\frac{CE}{AD}=\frac{BE}{BD}$，即$\frac{CE}{8}=\frac{12-CE}{6}$，求得CE=$\frac{48}{7}$，根据三角形的面积即可得到结论；
（3）由点P为直线y=x上一动点，设P（m，m），根据已知条件列方程$\frac{1}{2}$×12×|m|=$\frac{3}{2}$×$\frac{144}{7}$，即可得到结论．

解答 解：（1）作AD⊥OB于D，
∵AB=AO=10，
∴OD=BD=$\frac{1}{2}$OB=6，
AD=$\sqrt{A{O}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
A的坐标为A（6，8）；

（2）过C作CE⊥OB于E，
∵直线y=x与直线AB交于点C，
∴CE=OE，
∵AD⊥OB，
∴CE∥AD，
∴△BCE∽△ABD，
∴$\frac{CE}{AD}=\frac{BE}{BD}$，即$\frac{CE}{8}=\frac{12-CE}{6}$，
∴CE=$\frac{48}{7}$，
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$OB•CE=$\frac{1}{2}$×12×$\frac{48}{7}$=$\frac{288}{7}$；

（3）∵点P为直线y=x上一动点，
设P（m，m），
∵S_△OBP=${\frac{3}{2}}_{\;}$S_△OBC，
∴$\frac{1}{2}$×12×|m|=$\frac{3}{2}$×$\frac{288}{7}$，
∴|m|=$\frac{72}{7}$，
∴m=±$\frac{72}{7}$，
∴P（$\frac{72}{7}$，$\frac{72}{7}$）或P（-$\frac{72}{7}$，-$\frac{72}{7}$）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想．