如图.经过原点的抛物线y=-x2+2mx交x轴正半轴于点A.过点P(1.m)作直线PD⊥x轴于点D.交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C.连结CB.CP．(1)用含m的代数式表示BC的长．(2)连结CA.当m为何值时.CA⊥CP?作EF⊥BD于点E.交CP延长线于点F．①当m=$\frac{5}{4}$时.判断点F是否落在抛物线上.并说明理由,②延长EF交AC于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．

如图，经过原点的抛物线y=-x²+2mx（m＞1）交x轴正半轴于点A，过点P（1，m）作直线PD⊥x轴于点D，交抛物线于点B，记点B关于抛物线对称轴的对称点为C，连结CB，CP．
（1）用含m的代数式表示BC的长．
（2）连结CA，当m为何值时，CA⊥CP？
（3）过点E（1，1）作EF⊥BD于点E，交CP延长线于点F．
①当m=$\frac{5}{4}$时，判断点F是否落在抛物线上，并说明理由；
②延长EF交AC于点G，在EG上取一点H，连结CH，若CH=CG，且△PFE与△CHG的面积相等，则m的值是$\frac{5}{2}$．

分析（1）先确定B（1，2m-1）和抛物线的对称轴，则利用对称性得到C（2m-1，2m-1），于是可用m表示BC的长；
（2）解方程-x²+2mx=0得A（2m，0），再利用两点间的距离公式得到PC²=5m²-10m+5，AC²=4m²-4m+2，PA²=5m²-4m+1，然后利用勾股定理得到5m²-10m+5+4m²-4m+2=5m²-4m+1，再解方程即可得到m的值；
（3）①当m=$\frac{5}{4}$时，抛物线的解析式为y=-x²+$\frac{5}{2}$x，C点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），P点坐标为（1，$\frac{5}{4}$），再利用待定系数法求出直线PC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$，则可得到F（$\frac{1}{2}$，1），然后根据二次函数图象上点的坐标特征可判断点F是否在抛物线上；
②作CM⊥HG于M，利用等腰三角形的性质得GM=HM，易得直线PC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+m-$\frac{1}{2}$，直线AC的解析式为y=（-2m+1）x+4m²-2m，再分别求出F（3-2m，1），G（$\frac{4{m}^{2}-2m-1}{2m-1}$，1），然后利用三角形面积公式得到（1-3+2m）•（m-1）=2（2m-1-1）•（$\frac{4{m}^{2}-2m-1}{2m-1}$-2m+1），整理得2m²-7m+5=0，于是解方程可得到m的值．

解答解：（1）当x=1时，y=-x²+2mx=2m-1，则B（1，2m-1），
抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{2m}{2×（-1）}$=m，
∴C（2m-1，2m-1），
∴BC=2m-1-1=2m-2；
（2）当y=0时，-x²+2mx=0，解得x₁=0，x₂=2m，则A（2m，0），
PC²=（2m-1-1）²+（2m-1-m）²=5m²-10m+5，AC²=（2m-1-2m）²+（2m-1）²=4m²-4m+2，PA²=（2m-1）²+m²=5m²-4m+1，
当PC²+AC²=PA²，△PCA为直角三角形，PC⊥AC，
即5m²-10m+5+4m²-4m+2=5m²-4m+1，
整理得2m²-5m+3=0，解得m₁=$\frac{3}{2}$，m₂=1（舍去），
即当m为$\frac{3}{2}$时，CA⊥CP；
（3）①在．
理由如下：
当m=$\frac{5}{4}$时，抛物线的解析式为y=-x²+$\frac{5}{2}$x，C点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），P点坐标为（1，$\frac{5}{4}$），
设直线PC的解析式为y=kx+b，
把C（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），P（1，$\frac{5}{4}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}k+b=\frac{3}{2}}\\{k+b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线PC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$，
当y=1时，$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$=1，解得x=$\frac{1}{2}$，则F（$\frac{1}{2}$，1），
而x=$\frac{1}{2}$时，y=-x²+$\frac{5}{2}$x=-$\frac{1}{4}$+$\frac{5}{4}$=1，
∴点F在抛物线上；
②作CM⊥HG于M，则GM=HM，
P（1，m），C（2m-1，2m-1），A（2m，0），
易得直线PC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+m-$\frac{1}{2}$，直线AC的解析式为y=（-2m+1）x+4m²-2m，
当y=1时，$\frac{1}{2}$x+m-$\frac{1}{2}$=1，解得x=3-2m，则F（3-2m，1），
当y=1时，（-2m+1）x+4m²-2m=1，解得x=$\frac{4{m}^{2}-2m-1}{2m-1}$，则G（$\frac{4{m}^{2}-2m-1}{2m-1}$，1），
∵△PFE与△CHG的面积相等，
∴$\frac{1}{2}$•EF•PE=2•$\frac{1}{2}$•CM•GM，
即（1-3+2m）•（m-1）=2（2m-1-1）•（$\frac{4{m}^{2}-2m-1}{2m-1}$-2m+1）
整理得2m²-7m+5=0，解得m₁=$\frac{5}{2}$，m₂=1（舍去），
即m的值为$\frac{5}{2}$．
故答案为$\frac{5}{2}$．