Question

8．甲A、B两个村庄在坐标图纸上的坐标分别为（2，5）、（7，7），如图所示，x轴所在的位置为一条告诉公路，现要在公路上修建一个服务区P，使得服务区P到两个村庄A、B的距离之和最小．
（1）请在公路上标注出服务区P的位置；（要求尺规作图，保留必要的作图痕迹，必要时可用黑色笔加重）
（2）求出AP所在直线的解析式；
（3）为方便两村村民到服务区，拟在两个村庄到服务区之间各修建一条道路，若每修建1千米道路需费用5万元，求出所需要的总费用．

Answer 1

分析 （1）直接利用对称点求最短路线的方法得出P点位置；
（2）利用待定系数法求出直线AP所在直线解析式；
（3）首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出AB′，进而得出答案．

解答 解：（1）如图所示：P点即为所求；

（2）B点关于x轴的对称点为：B′（7，-7），则AP所在直线即为AB′所在直线，
设过这两点的直线解析式为：y=kx+b，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=5}\\{7k+b=-7}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{12}{5}}\\{b=\frac{49}{5}}\end{array}\right.$，
故AP所在的直线的解析式为：y=-$\frac{12}{5}$x+$\frac{49}{5}$；

（3）所修路的长即为AB′的长，如图所示：
在Rt△AB′C中，AC=5，B′C=12，
可得：AB′=13，
故所需要的总费用为：13×5=65（万元）．

点评 此题主要考查了应用设计与作图以及一次函数的应用、勾股定理等知识，正确得出P点位置是解题关键．