Question

8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，点D为优弧上的一动点，连接DA、DB、DC，DA交BC于点E，过点A作PA∥BC，交DB延长线于点P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）当四边形ABDC为等腰梯形，且∠ABC=30°时，求∠APB的度数？

Answer 1

分析 （1）连接OA，OB，OC，根据等边对等角得∠ABC=∠ACB，再根据圆周角定理得∠AOB=∠AOC，进而得出OA⊥PA，从而证明PA是⊙O的切线；
（2）分两种情况：①当BD∥AC时，根据∠ABC=30°，得∠ABC=∠ACB=30°，则∠BAC=120°，根据平行线的性质得出∠P=∠CBD=30°；
②当AB∥CD时，由 ①得，∠BAC=120°，根据平行线的性质得出∠ACD=60°，可证明△AOC是等边三角形，再根据直径所对的圆周角等于90度，得出∠CBD=90°，即可得出∠P=90°或30°．

解答 （1）证明：连接OA，OB，OC．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
又∠AOB=2∠ACB，
∠AOC=2∠ABC，
∴∠AOB=∠AOC．
∴OA⊥BC．     
又∵PA∥BC，
∴OA⊥PA．
∴PA是⊙O的切线．  
（2）解：分两种情况．
①当BD∥AC时，
∵∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=30°．
∴∠BAC=120°．  
∵BD∥AC，
∴∠ABD=60°．
∴∠CBD=30°．   
又∵PA∥BC，
∴∠P=∠CBD=30°．            
②当AB∥CD时，
由 ①得，∠BAC=120°．
∵AB∥CD，
∴∠ACD=60°．
又∵∠AOC=2∠ABC=60°，
OA=OC，
∴△AOC是等边三角形．              
∴∠ACO=60°．
∴CD是⊙O的直径．
∴∠CBD=90°．                       
又∵PA∥BC，
∴∠P=∠CBD=90°．                    
∴∠P=90°或30°．

点评 本题考查了切线的判定，等腰梯形的性质以及圆周角定理，分类讨论思想的运用是解题的关键．