Question

12．给定关于x的二次函数y=2x²+（6-2m）x+3-m，
学生甲：当m=3时，抛物线与x轴只有一个交点，因此当抛物线与x轴只有一个交点时，m的值为3；
学生乙：如果抛物线在x轴上方，那么该抛物线的最低点一定在第二象限；
请判断学生甲、乙的观点是否正确，并说明你的理由．

Answer 1

分析 甲的观点是错误的，乙的观点是正确的．分别求出抛物线y=2x²+（6-2m）x+3-m与x轴只有一个交点时m的值以及抛物线在x轴上方时该抛物线的最低点的位置即可．

解答 解：甲的观点是错误的．
理由如下：当抛物线y=2x²+（6-2m）x+3-m与x轴只有一个交点时（6-2m）²-4×2×（3-m）=0，
即：（3-m）（4-4m）=0，
解得m=3或m=1，
即m=3或m=1时抛物线y=2x²+（6-2m）x+3-m与x轴只有一个交点；
乙的观点是正确的，
理由如下：当抛物线在x轴上方时，
由上可得（6-2m）²-4×2×（3-m）＜0，
即：（3-m）（4-4m）＜0，
∴1＜m＜3，
而对于开口向上的抛物线最低点为其顶点，
顶点的横坐标为$x=-\frac{6-2m}{2×2}=\frac{m-3}{2}$，
∵1＜m＜3，
∴$x=\frac{m-3}{2}＜0$，且抛物线在x轴上方
即抛物线的最低点在第二象限．

点评 本题考查了抛物线和x轴交点问题以及和二次函数有关的性质，求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．