Question

20．如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由勾股定理得AB₂=
|x₂-x₁|²+|y₂-y₁|²，所以A，B两点间的距离为：AB=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$
我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xoy中，A（x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA²=|x-0|²+|y-0|²，当⊙O的半径为r时，⊙O的方程可写为：x²+y²=r²．
问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为（x-a）²+（y-b）²=r²．
综合应用：
如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使∠POA=30°，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．
①证明：AB是⊙P的切线；
②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的⊙Q的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 问题拓展：直接根据圆的定义即可得出结论；
综合应用：①先判断出△POB≌△PAB，即可得出结论；
②先得出点Q是BP中点，再根据含30°角的直角三角形的性质确定出点B的坐标，进而得出点Q的坐标，

解答 解：问题拓展：根据圆的定义得，（x-a）²+（y-b）²=r²，
故答案为：（x-a）²+（y-b）²=r²，

综合应用：①∵PO=PA    PD⊥OA，
∴∠OPD=∠APD，
在△POB和△PAB中 $\left\{\begin{array}{l}{PO=PA}\\{∠OPB=∠APB}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△POB≌△PAB，
∴∠PAB=∠POB=90°，
∴PA⊥AB
∴AB是⊙P的切线，

②存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q，
当点Q在线段BP中点时
∵∠POB=∠PAB=90°，
∴QO=QP=QA=QB
∴此时点Q到四点O，P，A，B距离都相等
∵PB⊥OA，∠POB=90°，∠POA=30°
∴∠PBO=30°．
∴在Rt△POB中，OP=6，
∴OB=$\sqrt{3}$OP=6$\sqrt{3}$，PB=2PO=12
∴B点坐标为（6$\sqrt{3}$，0），
∵Q是PB中点，P（0，6），B（6$\sqrt{3}$，0），
∴Q点坐标为（3$\sqrt{3}$，3）
∴OQ=$\frac{1}{2}$PB=6
∴以Q为圆心，OQ为半径的⊙Q的方程为（x-3$\sqrt{3}$）²+（y-3）²=36．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了新定义，全等三角形的判定和性质，切线的判定，含30°的直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出△POB≌△PAB，解（2）的关键是求出点B的坐标，是一道中等难度的题目．